Laboratoire de Physique Théorique
Toulouse - UMR 5152

Dynamique de marcheurs aléatoires en interaction

Applications aux particules browniennes autogravitantes, à la condensation de Bose-Einstein, à la turbulence en déclin et aux marcheurs aléatoires en présence de pièges

Résumé : (pdf)

Cette thèse est dédiée à l’étude des propriétés dynamiques de quelques systèmes de marcheurs aléatoires en interaction. Dans la première partie de ce manuscrit, nous étudions un modèle de particules browniennes autogravitantes. Dans ce modèle, les particules évoluent à température constante ce qui correspond à une description canonique de systèmes autogravitants. Lorsque la température est supérieure à une certaine température critique, il existe des états d’équilibre métastables. Par contre, en dessous de cette température critique, le système s’effondre pour former un pic de Dirac. Il a été montré que le modèle de particules browniennes autogravitantes partage de nombreuses analogies avec la chimiotaxie des populations biologiques. Dans ce travail de thèse, on s’intéresse à la généralisation de ces résultats au cas multi-espèce, dans lequel les particules peuvent avoir des masses différentes. Par ailleurs, on étudie les transitions de phase entre états gazeux et états condensés pour un modèle de particules browniennes autogravitantes (ou de son analogue biologique) autour d’un corps central. De plus, on montre que le modèle de particules browniennes autogravitantes présente des analogies avec la condensation de Bose-Einstein pour des bosons libres fortement couplés à un bain thermique. Ce modèle correspond à une description canonique (température fixée) de la condensation de Bose-Einstein. Le couplage entre un bain thermique et un système de bosons libres introduit une interaction effective entre les bosons. Celle-ci les force à se condenser dans leur état fondamental lorsque la température du bain est inférieure ou égale à une certaine température critique. On étudie alors les solutions de l’équation de Fokker-Planck bosonique associée à ce problème qui conduisent à la formation d’un pic de Dirac, modélisant le condensat. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la turbulence bidimensionnelle en déclin. La turbulence bidimensionnelle possède l’étonnante propriété de générer un ensemble de structures cohérentes, les tourbillons (ou vortex). Si le système turbulent est laissé libre (sans forçage externe), la turbulence décline à cause des processus de mélange des tourbillons de même signe. Des études ont montré que le processus de mélange à deux corps est dominant à forte densité de vortex alors qu’il est inefficace à très faible densité : dans ce cas, l’évolution est dominée par les processus à trois corps. Nous précisons ces résultats à l’aide d’un modèle effectif du mélange de deux vortex dans lequel l’action des tourbillons externes à la paire est modélisée par une force aléatoire. La dernière partie de ce manuscrit traite de la dynamique de marcheurs aléatoires en présence de pièges. En particulier, on s’intéresse à la longueur de pénétration d’un marcheur dans un milieu infini contenant une densité finie d’absorbeurs. On détermine rigoureusement cette longueur dans la limite des faibles densités et pour différents cas de figure : absorbeurs parfaits et imparfaits uniformément distribués, absorbeurs parfaits dont la distribution présente de fortes corrélations. En particulier, on montre que l’influence de ces corrélations sur la longueur de pénétration est cruciale lorsque celles-ci sont suffisamment fortes à grandes distances. Ce résultat est d’un grand intérêt dans le contexte de l’agrégation limitée par la diffusion.

Jury de thèse :

 Monsieur Alain BARRAT
 Monsieur Pierre-Henri CHAVANIS
 Monsieur David DEAN (Directeur de thèse)
 Monsieur Henk HILHORST
 Monsieur Stefano RUFFO (Rapporteur)
 Monsieur Clément SIRE (Codirecteur)
 Monsieur Emmanuel TRIZAC (Rapporteur)